다음을 풀어보세요: {l}{5x-4y=11}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-4y=11$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$5x=4y+11$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

\frac{1}{5}에 4y+11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

다른 수식 3x+2y=7에서 \frac{4y+11}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

3에 \frac{4y+11}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

\frac{12y}{5}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{33}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{22}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{1}{11}$$

x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}에서 y을(를) \frac{1}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{4}{5}에 \frac{1}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{11}{5}을(를) \frac{4}{55}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{25}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

5x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

단순화합니다.

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15x-12y=33에서 15x+10y=35을(를) 뺍니다.

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

15x을(를) -15x에 추가합니다. 15x 및 -15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-12y-10y=33-35$$

-12y을(를) -10y에 추가합니다.

$$-22y=33-35$$

33을(를) -35에 추가합니다.

$$-22y=-2$$

양쪽을 -22(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{11}$$

3x+2y=7에서 y을(를) \frac{1}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

2에 \frac{1}{11}을(를) 곱합니다.

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{11}을(를) 뺍니다.

$$3x=\frac{75}{11}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{25}{11}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$