다음을 풀어보세요: {l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=5$$

$$y=7$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-4y=-3$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$5x=4y-3$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

\frac{1}{5}에 4y-3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

다른 수식 3x-4y=-13에서 \frac{4y-3}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

3에 \frac{4y-3}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

\frac{12y}{5}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

수식의 양쪽에 \frac{9}{5}을(를) 더합니다.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{8}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=7$$

x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

\frac{4}{5}에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{3}{5}을(를) \frac{28}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=5,y=7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5x-4y=-3에서 3x-4y=-13을(를) 뺍니다.

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

-4y을(를) 4y에 추가합니다. -4y 및 4y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5x-3x=-3+13$$

5x을(를) -3x에 추가합니다.

$$2x=-3+13$$

-3을(를) 13에 추가합니다.

$$2x=10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=5$$

3x-4y=-13에서 x을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3\times 5-4y=-13$$

3에 5을(를) 곱합니다.

$$15-4y=-13$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$-4y=-28$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=7$$