다음을 풀어보세요: {l}{5x-3y=28}{12x+4y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 28 } \\ { 12 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=-6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-3y=28$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$5x=3y+28$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+28\right)$$

\frac{1}{5}에 3y+28을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}$$

다른 수식 12x+4y=0에서 \frac{3y+28}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$12\left(\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}\right)+4y=0$$

12에 \frac{3y+28}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{36}{5}y+\frac{336}{5}+4y=0$$

\frac{36y}{5}을(를) 4y에 추가합니다.

$$\frac{56}{5}y+\frac{336}{5}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{336}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{56}{5}y=-\frac{336}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{56}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-6$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}에서 y을(를) -6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{28}{5}$$

\frac{3}{5}에 -6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-18+28}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{28}{5}을(를) -\frac{18}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{56}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{56}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 28\\-\frac{3}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=-6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

5x 및 12x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 12을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$12\times 5x+12\left(-3\right)y=12\times 28,5\times 12x+5\times 4y=0$$

단순화합니다.

$$60x-36y=336,60x+20y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 60x-36y=336에서 60x+20y=0을(를) 뺍니다.

$$60x-60x-36y-20y=336$$

60x을(를) -60x에 추가합니다. 60x 및 -60x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-36y-20y=336$$

-36y을(를) -20y에 추가합니다.

$$-56y=336$$

양쪽을 -56(으)로 나눕니다.

$$y=-6$$

12x+4y=0에서 y을(를) -6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$12x+4\left(-6\right)=0$$

4에 -6을(를) 곱합니다.

$$12x-24=0$$

수식의 양쪽에 24을(를) 더합니다.

$$12x=24$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-6$$