\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 11 } \\ { 4 x - y = 2 } \end{array} \right.
x, y에 대한 해
x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714
y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857
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5x-3y=11,4x-y=2
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
5x-3y=11
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
5x=3y+11
수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.
x=\frac{1}{5}\left(3y+11\right)
양쪽을 5(으)로 나눕니다.
x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}
\frac{1}{5}에 3y+11을(를) 곱합니다.
4\left(\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)-y=2
다른 수식 4x-y=2에서 \frac{3y+11}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.
\frac{12}{5}y+\frac{44}{5}-y=2
4에 \frac{3y+11}{5}을(를) 곱합니다.
\frac{7}{5}y+\frac{44}{5}=2
\frac{12y}{5}을(를) -y에 추가합니다.
\frac{7}{5}y=-\frac{34}{5}
수식의 양쪽에서 \frac{44}{5}을(를) 뺍니다.
y=-\frac{34}{7}
수식의 양쪽을 \frac{7}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
x=\frac{3}{5}\left(-\frac{34}{7}\right)+\frac{11}{5}
x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}에서 y을(를) -\frac{34}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=-\frac{102}{35}+\frac{11}{5}
분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{3}{5}에 -\frac{34}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
x=-\frac{5}{7}
공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{11}{5}을(를) -\frac{102}{35}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}
시스템이 이제 해결되었습니다.
5x-3y=11,4x-y=2
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{4}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 11+\frac{3}{7}\times 2\\-\frac{4}{7}\times 11+\frac{5}{7}\times 2\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
5x-3y=11,4x-y=2
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 11,5\times 4x+5\left(-1\right)y=5\times 2
5x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.
20x-12y=44,20x-5y=10
단순화합니다.
20x-20x-12y+5y=44-10
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 20x-12y=44에서 20x-5y=10을(를) 뺍니다.
-12y+5y=44-10
20x을(를) -20x에 추가합니다. 20x 및 -20x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
-7y=44-10
-12y을(를) 5y에 추가합니다.
-7y=34
44을(를) -10에 추가합니다.
y=-\frac{34}{7}
양쪽을 -7(으)로 나눕니다.
4x-\left(-\frac{34}{7}\right)=2
4x-y=2에서 y을(를) -\frac{34}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
4x=-\frac{20}{7}
수식의 양쪽에서 \frac{34}{7}을(를) 뺍니다.
x=-\frac{5}{7}
양쪽을 4(으)로 나눕니다.
x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}
시스템이 이제 해결되었습니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}