다음을 풀어보세요: {l}{5x-2y=7}{2x+7y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 7 } \\ { 2 x + 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-2y=7$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$5x=2y+7$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+7\right)$$

\frac{1}{5}에 2y+7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}$$

다른 수식 2x+7y=-5에서 \frac{2y+7}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=-5$$

2에 \frac{2y+7}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{4}{5}y+\frac{14}{5}+7y=-5$$

\frac{4y}{5}을(를) 7y에 추가합니다.

$$\frac{39}{5}y+\frac{14}{5}=-5$$

수식의 양쪽에서 \frac{14}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{39}{5}y=-\frac{39}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{39}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-1$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{7}{5}에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{7}{5}$$

\frac{2}{5}에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{5}을(를) -\frac{2}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}&\frac{2}{39}\\-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{39}\times 7+\frac{2}{39}\left(-5\right)\\-\frac{2}{39}\times 7+\frac{5}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=-1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-2y=7,2x+7y=-5$$

5x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 7,5\times 2x+5\times 7y=5\left(-5\right)$$

단순화합니다.

$$10x-4y=14,10x+35y=-25$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10x-4y=14에서 10x+35y=-25을(를) 뺍니다.

$$10x-10x-4y-35y=14+25$$

10x을(를) -10x에 추가합니다. 10x 및 -10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y-35y=14+25$$

-4y을(를) -35y에 추가합니다.

$$-39y=14+25$$

14을(를) 25에 추가합니다.

$$-39y=39$$

양쪽을 -39(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

2x+7y=-5에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+7\left(-1\right)=-5$$

7에 -1을(를) 곱합니다.

$$2x-7=-5$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$2x=2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-1$$