다음을 풀어보세요: {l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x-2y=14$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$5x=2y+14$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

\frac{1}{5}에 14+2y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

다른 수식 3x+7y=21에서 \frac{14+2y}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

3에 \frac{14+2y}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

\frac{6y}{5}을(를) 7y에 추가합니다.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

수식의 양쪽에서 \frac{42}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{41}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{63}{41}$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}에서 y을(를) \frac{63}{41}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{2}{5}에 \frac{63}{41}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{14}{5}을(를) \frac{126}{205}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{140}{41}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

5x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

단순화합니다.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15x-6y=42에서 15x+35y=105을(를) 뺍니다.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

15x을(를) -15x에 추가합니다. 15x 및 -15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y-35y=42-105$$

-6y을(를) -35y에 추가합니다.

$$-41y=42-105$$

42을(를) -105에 추가합니다.

$$-41y=-63$$

양쪽을 -41(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{63}{41}$$

3x+7y=21에서 y을(를) \frac{63}{41}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

7에 \frac{63}{41}을(를) 곱합니다.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

수식의 양쪽에서 \frac{441}{41}을(를) 뺍니다.

$$3x=\frac{420}{41}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{140}{41}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$