다음을 풀어보세요: {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=30$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+y=35$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$5x=-y+35$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

\frac{1}{5}에 -y+35을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

다른 수식 7x+1.1y=40에서 -\frac{y}{5}+7을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1.1y=40$$

7에 -\frac{y}{5}+7을(를) 곱합니다.

$$-\frac{7}{5}y+49+1.1y=40$$

-\frac{7y}{5}을(를) \frac{11y}{10}에 추가합니다.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

수식의 양쪽에서 49을(를) 뺍니다.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

수식의 양쪽을 -\frac{3}{10}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=30$$

x=-\frac{1}{5}y+7에서 y을(를) 30(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

-\frac{1}{5}에 30을(를) 곱합니다.

$$x=-6+7$$

7을(를) -6에 추가합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=30$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.1}{5\times 1.1-7}&-\frac{1}{5\times 1.1-7}\\-\frac{7}{5\times 1.1-7}&\frac{5}{5\times 1.1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=30$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

5x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$7\times 5x+7y=7\times 35,5\times 7x+5\times 1.1y=5\times 40$$

단순화합니다.

$$35x+7y=245,35x+5.5y=200$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 35x+7y=245에서 35x+5.5y=200을(를) 뺍니다.

$$35x-35x+7y-5.5y=245-200$$

35x을(를) -35x에 추가합니다. 35x 및 -35x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$7y-5.5y=245-200$$

7y을(를) -\frac{11y}{2}에 추가합니다.

$$1.5y=245-200$$

245을(를) -200에 추가합니다.

$$1.5y=45$$

수식의 양쪽을 1.5(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=30$$

7x+1.1y=40에서 y을(를) 30(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x+1.1\times 30=40$$

1.1에 30을(를) 곱합니다.

$$7x+33=40$$

수식의 양쪽에서 33을(를) 뺍니다.

$$7x=7$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=30$$