다음을 풀어보세요: {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=160$$

$$y=180$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 2x+4y의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$1020=2060-2x-4y$$

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$2060-2x-4y=1020$$

양쪽 모두에서 2060을(를) 뺍니다.

$$-2x-4y=1020-2060$$

1020에서 2060을(를) 빼고 -1040을(를) 구합니다.

$$-2x-4y=-1040$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+7y=2060$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$5x=-7y+2060$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

\frac{1}{5}에 -7y+2060을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

다른 수식 -2x-4y=-1040에서 -\frac{7y}{5}+412을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

-2에 -\frac{7y}{5}+412을(를) 곱합니다.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

\frac{14y}{5}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

수식의 양쪽에 824을(를) 더합니다.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

수식의 양쪽을 -\frac{6}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=180$$

x=-\frac{7}{5}y+412에서 y을(를) 180(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

-\frac{7}{5}에 180을(를) 곱합니다.

$$x=-252+412$$

412을(를) -252에 추가합니다.

$$x=160$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=160,y=180$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 2x+4y의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$1020=2060-2x-4y$$

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$2060-2x-4y=1020$$

양쪽 모두에서 2060을(를) 뺍니다.

$$-2x-4y=1020-2060$$

1020에서 2060을(를) 빼고 -1040을(를) 구합니다.

$$-2x-4y=-1040$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=160,y=180$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 2x+4y의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$1020=2060-2x-4y$$

모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$2060-2x-4y=1020$$

양쪽 모두에서 2060을(를) 뺍니다.

$$-2x-4y=1020-2060$$

1020에서 2060을(를) 빼고 -1040을(를) 구합니다.

$$-2x-4y=-1040$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

5x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

단순화합니다.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -10x-14y=-4120에서 -10x-20y=-5200을(를) 뺍니다.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

-10x을(를) 10x에 추가합니다. -10x 및 10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

-14y을(를) 20y에 추가합니다.

$$6y=-4120+5200$$

-4120을(를) 5200에 추가합니다.

$$6y=1080$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=180$$

-2x-4y=-1040에서 y을(를) 180(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

-4에 180을(를) 곱합니다.

$$-2x-720=-1040$$

수식의 양쪽에 720을(를) 더합니다.

$$-2x=-320$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=160$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=160,y=180$$