다음을 풀어보세요: {l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+5y=15$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$5x=-5y+15$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

\frac{1}{5}에 -5y+15을(를) 곱합니다.

$$x=-y+3$$

다른 수식 4x+10y=-2에서 -y+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

4에 -y+3을(를) 곱합니다.

$$-4y+12+10y=-2$$

-4y을(를) 10y에 추가합니다.

$$6y+12=-2$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$6y=-14$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{7}{3}$$

x=-y+3에서 y을(를) -\frac{7}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

-1에 -\frac{7}{3}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

3을(를) \frac{7}{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{16}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

5x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

단순화합니다.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 20x+20y=60에서 20x+50y=-10을(를) 뺍니다.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

20x을(를) -20x에 추가합니다. 20x 및 -20x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$20y-50y=60+10$$

20y을(를) -50y에 추가합니다.

$$-30y=60+10$$

60을(를) 10에 추가합니다.

$$-30y=70$$

양쪽을 -30(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{7}{3}$$

4x+10y=-2에서 y을(를) -\frac{7}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

10에 -\frac{7}{3}을(를) 곱합니다.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

수식의 양쪽에 \frac{70}{3}을(를) 더합니다.

$$4x=\frac{64}{3}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{16}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$