다음을 풀어보세요: {l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+4y=-3$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$5x=-4y-3$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

\frac{1}{5}에 -4y-3을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

다른 수식 6x+3y=-2에서 \frac{-4y-3}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

6에 \frac{-4y-3}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

-\frac{24y}{5}을(를) 3y에 추가합니다.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

수식의 양쪽에 \frac{18}{5}을(를) 더합니다.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{9}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{8}{9}$$

x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}에서 y을(를) -\frac{8}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{4}{5}에 -\frac{8}{9}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{3}{5}을(를) \frac{32}{45}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

5x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

단순화합니다.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 30x+24y=-18에서 30x+15y=-10을(를) 뺍니다.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

30x을(를) -30x에 추가합니다. 30x 및 -30x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$24y-15y=-18+10$$

24y을(를) -15y에 추가합니다.

$$9y=-18+10$$

-18을(를) 10에 추가합니다.

$$9y=-8$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{8}{9}$$

6x+3y=-2에서 y을(를) -\frac{8}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

3에 -\frac{8}{9}을(를) 곱합니다.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

수식의 양쪽에 \frac{8}{3}을(를) 더합니다.

$$6x=\frac{2}{3}$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$