다음을 풀어보세요: {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-10$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+10y=-70$$

수식의 양쪽에서 10y을(를) 뺍니다.

$$5x=-10y-70$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

\frac{1}{5}에 -10y-70을(를) 곱합니다.

$$x=-2y-14$$

다른 수식 -8x+30y=20에서 -2y-14을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

-8에 -2y-14을(를) 곱합니다.

$$16y+112+30y=20$$

16y을(를) 30y에 추가합니다.

$$46y+112=20$$

수식의 양쪽에서 112을(를) 뺍니다.

$$46y=-92$$

양쪽을 46(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

x=-2y-14에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

-2에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=4-14$$

-14을(를) 4에 추가합니다.

$$x=-10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-10,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-10,y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

5x 및 -8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

단순화합니다.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -40x-80y=560에서 -40x+150y=100을(를) 뺍니다.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

-40x을(를) 40x에 추가합니다. -40x 및 40x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-80y-150y=560-100$$

-80y을(를) -150y에 추가합니다.

$$-230y=560-100$$

560을(를) -100에 추가합니다.

$$-230y=460$$

양쪽을 -230(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

-8x+30y=20에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

30에 -2을(를) 곱합니다.

$$-8x-60=20$$

수식의 양쪽에 60을(를) 더합니다.

$$-8x=80$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=-10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-10,y=-2$$