다음을 풀어보세요: {l}{5x+1y=2}{2x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 1 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

$$y=-\frac{2}{9}\approx -0.222222222$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+y=2$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$5x=-y+2$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+2\right)$$

\frac{1}{5}에 -y+2을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}$$

다른 수식 2x-5y=2에서 \frac{-y+2}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}\right)-5y=2$$

2에 \frac{-y+2}{5}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-5y=2$$

-\frac{2y}{5}을(를) -5y에 추가합니다.

$$-\frac{27}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{5}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{27}{5}y=\frac{6}{5}$$

수식의 양쪽을 -\frac{27}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{2}{9}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}에서 y을(를) -\frac{2}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{9}\right)+\frac{2}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{5}에 -\frac{2}{9}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{2}{45}+\frac{2}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{5}을(를) \frac{2}{45}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{4}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{5\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{5\left(-5\right)-2}&\frac{5}{5\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{1}{27}\\\frac{2}{27}&-\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}\times 2+\frac{1}{27}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2-\frac{5}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

5x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$2\times 5x+2y=2\times 2,5\times 2x+5\left(-5\right)y=5\times 2$$

단순화합니다.

$$10x+2y=4,10x-25y=10$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10x+2y=4에서 10x-25y=10을(를) 뺍니다.

$$10x-10x+2y+25y=4-10$$

10x을(를) -10x에 추가합니다. 10x 및 -10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2y+25y=4-10$$

2y을(를) 25y에 추가합니다.

$$27y=4-10$$

4을(를) -10에 추가합니다.

$$27y=-6$$

양쪽을 27(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{2}{9}$$

2x-5y=2에서 y을(를) -\frac{2}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-5\left(-\frac{2}{9}\right)=2$$

-5에 -\frac{2}{9}을(를) 곱합니다.

$$2x+\frac{10}{9}=2$$

수식의 양쪽에서 \frac{10}{9}을(를) 뺍니다.

$$2x=\frac{8}{9}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{4}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$