다음을 풀어보세요: {l}{5x+(5i)y=100}{(5i)x+(5-10i)y=60+80i}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + ( 5 i ) y = 100 } \\ { ( 5 i ) x + ( 5 - 10 i ) y = 60 + 80 i } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=22-4i$$

$$y=4+2i$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+5iy=100$$

수식의 양쪽에서 5iy을(를) 뺍니다.

$$5x=-5iy+100$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5iy+100\right)$$

\frac{1}{5}에 -5iy+100을(를) 곱합니다.

$$x=-iy+20$$

다른 수식 5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i에서 -iy+20을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5i\left(-iy+20\right)+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

5i에 -iy+20을(를) 곱합니다.

$$5y+100i+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

5y을(를) \left(5-10i\right)y에 추가합니다.

$$\left(10-10i\right)y+100i=60+80i$$

수식의 양쪽에서 100i을(를) 뺍니다.

$$\left(10-10i\right)y=60-20i$$

양쪽을 10-10i(으)로 나눕니다.

$$y=4+2i$$

x=-iy+20에서 y을(를) 4+2i(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-i\left(4+2i\right)+20$$

-i에 4+2i을(를) 곱합니다.

$$x=2-4i+20$$

20을(를) 2-4i에 추가합니다.

$$x=22-4i$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5-10i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\\-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&\frac{5}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\\\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\\\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22-4i\\4+2i\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

5x 및 5ix을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5i을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$5i\times 5x+5i\times \left(5i\right)y=5i\times 100,5\times \left(5i\right)x+5\left(5-10i\right)y=5\left(60+80i\right)$$

단순화합니다.

$$25ix-25y=500i,25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 25ix-25y=500i에서 25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i을(를) 뺍니다.

$$25ix-25ix-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

25ix을(를) -25ix에 추가합니다. 25ix 및 -25ix이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

-25y을(를) \left(-25+50i\right)y에 추가합니다.

$$\left(-50+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

500i을(를) -300-400i에 추가합니다.

$$\left(-50+50i\right)y=-300+100i$$

양쪽을 -50+50i(으)로 나눕니다.

$$y=4+2i$$

5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i에서 y을(를) 4+2i(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5ix+\left(5-10i\right)\left(4+2i\right)=60+80i$$

5-10i에 4+2i을(를) 곱합니다.

$$5ix+\left(40-30i\right)=60+80i$$

수식의 양쪽에서 40-30i을(를) 뺍니다.

$$5ix=20+110i$$

양쪽을 5i(으)로 나눕니다.

$$x=22-4i$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=22-4i,y=4+2i$$