다음을 풀어보세요: {l}{5=3k+b}{-9=-4k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

k, b에 대한 해

$$k=2$$

$$b=-1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3k+b=5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$-4k+b=-9$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 k을(를) 고립시켜 k에 대한 해를 찾습니다.

$$3k+b=5$$

수식의 양쪽에서 b을(를) 뺍니다.

$$3k=-b+5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

\frac{1}{3}에 -b+5을(를) 곱합니다.

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

다른 수식 -4k+b=-9에서 \frac{-b+5}{3}을(를) k(으)로 치환합니다.

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

-4에 \frac{-b+5}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

\frac{4b}{3}을(를) b에 추가합니다.

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

수식의 양쪽에 \frac{20}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{7}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=-1$$

k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}에서 b을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 k에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3}에 -1을(를) 곱합니다.

$$k=\frac{1+5}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) \frac{1}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$k=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$k=2,b=-1$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3k+b=5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$-4k+b=-9$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 k 및 b을(를) 추출합니다.

$$k=2,b=-1$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$3k+b=5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$-4k+b=-9$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3k+b=5에서 -4k+b=-9을(를) 뺍니다.

$$3k+4k+b-b=5+9$$

b을(를) -b에 추가합니다. b 및 -b이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3k+4k=5+9$$

3k을(를) 4k에 추가합니다.

$$7k=5+9$$

5을(를) 9에 추가합니다.

$$7k=14$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$k=2$$

-4k+b=-9에서 k을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 b에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4\times 2+b=-9$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$-8+b=-9$$

수식의 양쪽에 8을(를) 더합니다.

$$b=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$k=2,b=-1$$