다음을 풀어보세요: {l}{4x-y=14}{6x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 14 } \\ { 6 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-y=14$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$4x=y+14$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+14\right)$$

\frac{1}{4}에 y+14을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}$$

다른 수식 6x+y=16에서 \frac{y}{4}+\frac{7}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}\right)+y=16$$

6에 \frac{y}{4}+\frac{7}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{2}y+21+y=16$$

\frac{3y}{2}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{5}{2}y+21=16$$

수식의 양쪽에서 21을(를) 뺍니다.

$$\frac{5}{2}y=-5$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{7}{2}$$

\frac{1}{4}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1+7}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{2}을(를) -\frac{1}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-6\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-6\right)}\\-\frac{6}{4-\left(-6\right)}&\frac{4}{4-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 14+\frac{1}{10}\times 16\\-\frac{3}{5}\times 14+\frac{2}{5}\times 16\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

4x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$6\times 4x+6\left(-1\right)y=6\times 14,4\times 6x+4y=4\times 16$$

단순화합니다.

$$24x-6y=84,24x+4y=64$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 24x-6y=84에서 24x+4y=64을(를) 뺍니다.

$$24x-24x-6y-4y=84-64$$

24x을(를) -24x에 추가합니다. 24x 및 -24x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y-4y=84-64$$

-6y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-10y=84-64$$

84을(를) -64에 추가합니다.

$$-10y=20$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

6x+y=16에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-2=16$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$6x=18$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=-2$$