다음을 풀어보세요: {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-5y=9$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$4x=5y+9$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

\frac{1}{4}에 5y+9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

다른 수식 7x-4y=15에서 \frac{5y+9}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

7에 \frac{5y+9}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

\frac{35y}{4}을(를) -4y에 추가합니다.

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

수식의 양쪽에서 \frac{63}{4}을(를) 뺍니다.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

수식의 양쪽을 \frac{19}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{3}{19}$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}에서 y을(를) -\frac{3}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{5}{4}에 -\frac{3}{19}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{4}을(를) -\frac{15}{76}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{39}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

4x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

단순화합니다.

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 28x-35y=63에서 28x-16y=60을(를) 뺍니다.

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

28x을(를) -28x에 추가합니다. 28x 및 -28x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-35y+16y=63-60$$

-35y을(를) 16y에 추가합니다.

$$-19y=63-60$$

63을(를) -60에 추가합니다.

$$-19y=3$$

양쪽을 -19(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{3}{19}$$

7x-4y=15에서 y을(를) -\frac{3}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

-4에 -\frac{3}{19}을(를) 곱합니다.

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

수식의 양쪽에서 \frac{12}{19}을(를) 뺍니다.

$$7x=\frac{273}{19}$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{39}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$