\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.
x, y에 대한 해
x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182
y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455
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4x-5y=7,2x+3y=1
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
4x-5y=7
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
4x=5y+7
수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.
x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)
양쪽을 4(으)로 나눕니다.
x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}
\frac{1}{4}에 5y+7을(를) 곱합니다.
2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1
다른 수식 2x+3y=1에서 \frac{5y+7}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.
\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1
2에 \frac{5y+7}{4}을(를) 곱합니다.
\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1
\frac{5y}{2}을(를) 3y에 추가합니다.
\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}
수식의 양쪽에서 \frac{7}{2}을(를) 뺍니다.
y=-\frac{5}{11}
수식의 양쪽을 \frac{11}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}
x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}에서 y을(를) -\frac{5}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}
분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{5}{4}에 -\frac{5}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
x=\frac{13}{11}
공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{4}을(를) -\frac{25}{44}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}
시스템이 이제 해결되었습니다.
4x-5y=7,2x+3y=1
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
4x-5y=7,2x+3y=1
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4
4x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.
8x-10y=14,8x+12y=4
단순화합니다.
8x-8x-10y-12y=14-4
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x-10y=14에서 8x+12y=4을(를) 뺍니다.
-10y-12y=14-4
8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
-22y=14-4
-10y을(를) -12y에 추가합니다.
-22y=10
14을(를) -4에 추가합니다.
y=-\frac{5}{11}
양쪽을 -22(으)로 나눕니다.
2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1
2x+3y=1에서 y을(를) -\frac{5}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
2x-\frac{15}{11}=1
3에 -\frac{5}{11}을(를) 곱합니다.
2x=\frac{26}{11}
수식의 양쪽에 \frac{15}{11}을(를) 더합니다.
x=\frac{13}{11}
양쪽을 2(으)로 나눕니다.
x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}
시스템이 이제 해결되었습니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}