다음을 풀어보세요: {l}{4x-3y=16}{-2x+4y=-2}

x, y에 대한 해

그래프

퀴즈

Simultaneous Equation

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4x-3y=16,-2x+4y=-2

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

4x-3y=16

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

4x=3y+16

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

x=\frac{1}{4}\left(3y+16\right)

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

x=\frac{3}{4}y+4

\frac{1}{4}에 3y+16을(를) 곱합니다.

-2\left(\frac{3}{4}y+4\right)+4y=-2

다른 수식 -2x+4y=-2에서 \frac{3y}{4}+4을(를) x(으)로 치환합니다.

-\frac{3}{2}y-8+4y=-2

-2에 \frac{3y}{4}+4을(를) 곱합니다.

\frac{5}{2}y-8=-2

-\frac{3y}{2}을(를) 4y에 추가합니다.

\frac{5}{2}y=6

수식의 양쪽에 8을(를) 더합니다.

y=\frac{12}{5}

수식의 양쪽을 \frac{5}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

x=\frac{3}{4}\times \frac{12}{5}+4

x=\frac{3}{4}y+4에서 y을(를) \frac{12}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

x=\frac{9}{5}+4

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{3}{4}에 \frac{12}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

x=\frac{29}{5}

4을(를) \frac{9}{5}에 추가합니다.

x=\frac{29}{5},y=\frac{12}{5}

시스템이 이제 해결되었습니다.

4x-3y=16,-2x+4y=-2

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)

\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 4-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-2\end{matrix}\right)

산술 연산을 수행합니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 16+\frac{3}{10}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 16+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)

행렬을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)

산술 연산을 수행합니다.

x=\frac{29}{5},y=\frac{12}{5}

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

4x-3y=16,-2x+4y=-2

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

-2\times 4x-2\left(-3\right)y=-2\times 16,4\left(-2\right)x+4\times 4y=4\left(-2\right)

4x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

-8x+6y=-32,-8x+16y=-8

단순화합니다.

-8x+8x+6y-16y=-32+8