다음을 풀어보세요: {l}{4x-2y=8}{2x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x-2y=8$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$4x=2y+8$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

\frac{1}{4}에 8+2y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

다른 수식 2x+y=2에서 \frac{y}{2}+2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

2에 \frac{y}{2}+2을(를) 곱합니다.

$$y+4+y=2$$

y을(를) y에 추가합니다.

$$2y+4=2$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$2y=-2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{2}y+2에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

\frac{1}{2}에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

2을(를) -\frac{1}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{3}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

4x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 8,4\times 2x+4y=4\times 2$$

단순화합니다.

$$8x-4y=16,8x+4y=8$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x-4y=16에서 8x+4y=8을(를) 뺍니다.

$$8x-8x-4y-4y=16-8$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y-4y=16-8$$

-4y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-8y=16-8$$

16을(를) -8에 추가합니다.

$$-8y=8$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

2x+y=2에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-1=2$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$2x=3$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$