다음을 풀어보세요: {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9} \approx 3.444444444$$

$$y = \frac{257}{45} = 5\frac{32}{45} \approx 5.711111111$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+2y=25.2$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$4x=-2y+25.2$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25.2\right)$$

\frac{1}{4}에 -2y+25.2을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

다른 수식 x+5y=32에서 -\frac{y}{2}+\frac{63}{10}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

-\frac{y}{2}을(를) 5y에 추가합니다.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

수식의 양쪽에서 \frac{63}{10}을(를) 뺍니다.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

수식의 양쪽을 \frac{9}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{257}{45}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}에서 y을(를) \frac{257}{45}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{2}에 \frac{257}{45}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{63}{10}을(를) -\frac{257}{90}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{31}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25.2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25.2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

4x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$4x+2y=25.2,4x+4\times 5y=4\times 32$$

단순화합니다.

$$4x+2y=25.2,4x+20y=128$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4x+2y=25.2에서 4x+20y=128을(를) 뺍니다.

$$4x-4x+2y-20y=25.2-128$$

4x을(를) -4x에 추가합니다. 4x 및 -4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2y-20y=25.2-128$$

2y을(를) -20y에 추가합니다.

$$-18y=25.2-128$$

25.2을(를) -128에 추가합니다.

$$-18y=-102.8$$

양쪽을 -18(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{257}{45}$$

x+5y=32에서 y을(를) \frac{257}{45}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

5에 \frac{257}{45}을(를) 곱합니다.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

수식의 양쪽에서 \frac{257}{9}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{31}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$