다음을 풀어보세요: {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

m, n에 대한 해

$$m=-2$$

$$n=-3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$4m+9n=-35$$

수식의 양쪽에서 9n을(를) 뺍니다.

$$4m=-9n-35$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

\frac{1}{4}에 -9n-35을(를) 곱합니다.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

다른 수식 3m-8n=18에서 \frac{-9n-35}{4}을(를) m(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

3에 \frac{-9n-35}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

-\frac{27n}{4}을(를) -8n에 추가합니다.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

수식의 양쪽에 \frac{105}{4}을(를) 더합니다.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

수식의 양쪽을 -\frac{59}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$n=-3$$

m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}에서 n을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

-\frac{9}{4}에 -3을(를) 곱합니다.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{35}{4}을(를) \frac{27}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=-2,n=-3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

$$m=-2,n=-3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

4m 및 3m을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

단순화합니다.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12m+27n=-105에서 12m-32n=72을(를) 뺍니다.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

12m을(를) -12m에 추가합니다. 12m 및 -12m이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$27n+32n=-105-72$$

27n을(를) 32n에 추가합니다.

$$59n=-105-72$$

-105을(를) -72에 추가합니다.

$$59n=-177$$

양쪽을 59(으)로 나눕니다.

$$n=-3$$

3m-8n=18에서 n을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

-8에 -3을(를) 곱합니다.

$$3m+24=18$$

수식의 양쪽에서 24을(를) 뺍니다.

$$3m=-6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$m=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=-2,n=-3$$