다음을 풀어보세요: {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=0$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 4에 2x-y(을)를 곱합니다.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

분배 법칙을 사용하여 -7에 2y+x(을)를 곱합니다.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-4y과(와) -14y을(를) 결합하여 -18y(을)를 구합니다.

$$8x-18y-7x=-36$$

8x과(와) -7x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x-18y=-36$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -2에 x+2(을)를 곱합니다.

$$-2x-4-7y=-18$$

양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$-2x-7y=-18+4$$

-18과(와) 4을(를) 더하여 -14을(를) 구합니다.

$$-2x-7y=-14$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-18y=-36$$

수식의 양쪽에 18y을(를) 더합니다.

$$x=18y-36$$

다른 수식 -2x-7y=-14에서 -36+18y을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

-2에 -36+18y을(를) 곱합니다.

$$-36y+72-7y=-14$$

-36y을(를) -7y에 추가합니다.

$$-43y+72=-14$$

수식의 양쪽에서 72을(를) 뺍니다.

$$-43y=-86$$

양쪽을 -43(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

x=18y-36에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=18\times 2-36$$

18에 2을(를) 곱합니다.

$$x=36-36$$

-36을(를) 36에 추가합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=2$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 4에 2x-y(을)를 곱합니다.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

분배 법칙을 사용하여 -7에 2y+x(을)를 곱합니다.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-4y과(와) -14y을(를) 결합하여 -18y(을)를 구합니다.

$$8x-18y-7x=-36$$

8x과(와) -7x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x-18y=-36$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -2에 x+2(을)를 곱합니다.

$$-2x-4-7y=-18$$

양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$-2x-7y=-18+4$$

-18과(와) 4을(를) 더하여 -14을(를) 구합니다.

$$-2x-7y=-14$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=0,y=2$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 4에 2x-y(을)를 곱합니다.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

분배 법칙을 사용하여 -7에 2y+x(을)를 곱합니다.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

-4y과(와) -14y을(를) 결합하여 -18y(을)를 구합니다.

$$8x-18y-7x=-36$$

8x과(와) -7x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x-18y=-36$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -2에 x+2(을)를 곱합니다.

$$-2x-4-7y=-18$$

양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$-2x-7y=-18+4$$

-18과(와) 4을(를) 더하여 -14을(를) 구합니다.

$$-2x-7y=-14$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

단순화합니다.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x+36y=72에서 -2x-7y=-14을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$36y+7y=72+14$$

36y을(를) 7y에 추가합니다.

$$43y=72+14$$

72을(를) 14에 추가합니다.

$$43y=86$$

양쪽을 43(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

-2x-7y=-14에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x-7\times 2=-14$$

-7에 2을(를) 곱합니다.

$$-2x-14=-14$$

수식의 양쪽에 14을(를) 더합니다.

$$-2x=0$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=2$$