다음을 풀어보세요: {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$361x+463y=-102$$

수식의 양쪽에서 463y을(를) 뺍니다.

$$361x=-463y-102$$

양쪽을 361(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

\frac{1}{361}에 -463y-102을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

다른 수식 463x+361y=102에서 \frac{-463y-102}{361}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

463에 \frac{-463y-102}{361}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

-\frac{214369y}{361}을(를) 361y에 추가합니다.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

수식의 양쪽에 \frac{47226}{361}을(를) 더합니다.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

수식의 양쪽을 -\frac{84048}{361}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-1$$

x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

-\frac{463}{361}에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{102}{361}을(를) \frac{463}{361}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=-1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

361x 및 463x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 463을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 361을(를) 곱합니다.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

단순화합니다.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 167143x+214369y=-47226에서 167143x+130321y=36822을(를) 뺍니다.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

167143x을(를) -167143x에 추가합니다. 167143x 및 -167143x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

214369y을(를) -130321y에 추가합니다.

$$84048y=-47226-36822$$

-47226을(를) -36822에 추가합니다.

$$84048y=-84048$$

양쪽을 84048(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

463x+361y=102에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

361에 -1을(를) 곱합니다.

$$463x-361=102$$

수식의 양쪽에 361을(를) 더합니다.

$$463x=463$$

양쪽을 463(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-1$$