다음을 풀어보세요: {l}{30x+40y=1800}{40x+30y=3000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 40 y = 1800 } \\ { 40 x + 30 y = 3000 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{660}{7} = 94\frac{2}{7} \approx 94.285714286$$

$$y = -\frac{180}{7} = -25\frac{5}{7} \approx -25.714285714$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$30x+40y=1800$$

수식의 양쪽에서 40y을(를) 뺍니다.

$$30x=-40y+1800$$

양쪽을 30(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{30}\left(-40y+1800\right)$$

\frac{1}{30}에 -40y+1800을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{3}y+60$$

다른 수식 40x+30y=3000에서 -\frac{4y}{3}+60을(를) x(으)로 치환합니다.

$$40\left(-\frac{4}{3}y+60\right)+30y=3000$$

40에 -\frac{4y}{3}+60을(를) 곱합니다.

$$-\frac{160}{3}y+2400+30y=3000$$

-\frac{160y}{3}을(를) 30y에 추가합니다.

$$-\frac{70}{3}y+2400=3000$$

수식의 양쪽에서 2400을(를) 뺍니다.

$$-\frac{70}{3}y=600$$

수식의 양쪽을 -\frac{70}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{180}{7}$$

x=-\frac{4}{3}y+60에서 y을(를) -\frac{180}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{180}{7}\right)+60$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{4}{3}에 -\frac{180}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{240}{7}+60$$

60을(를) \frac{240}{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{660}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\40&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30\times 30-40\times 40}&-\frac{40}{30\times 30-40\times 40}\\-\frac{40}{30\times 30-40\times 40}&\frac{30}{30\times 30-40\times 40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{70}&\frac{2}{35}\\\frac{2}{35}&-\frac{3}{70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\3000\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{70}\times 1800+\frac{2}{35}\times 3000\\\frac{2}{35}\times 1800-\frac{3}{70}\times 3000\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{660}{7}\\-\frac{180}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$30x+40y=1800,40x+30y=3000$$

30x 및 40x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 40을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 30을(를) 곱합니다.

$$40\times 30x+40\times 40y=40\times 1800,30\times 40x+30\times 30y=30\times 3000$$

단순화합니다.

$$1200x+1600y=72000,1200x+900y=90000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 1200x+1600y=72000에서 1200x+900y=90000을(를) 뺍니다.

$$1200x-1200x+1600y-900y=72000-90000$$

1200x을(를) -1200x에 추가합니다. 1200x 및 -1200x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$1600y-900y=72000-90000$$

1600y을(를) -900y에 추가합니다.

$$700y=72000-90000$$

72000을(를) -90000에 추가합니다.

$$700y=-18000$$

양쪽을 700(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{180}{7}$$

40x+30y=3000에서 y을(를) -\frac{180}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$40x+30\left(-\frac{180}{7}\right)=3000$$

30에 -\frac{180}{7}을(를) 곱합니다.

$$40x-\frac{5400}{7}=3000$$

수식의 양쪽에 \frac{5400}{7}을(를) 더합니다.

$$40x=\frac{26400}{7}$$

양쪽을 40(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{660}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{660}{7},y=-\frac{180}{7}$$