다음을 풀어보세요: {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=20$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$30x+15y=675$$

수식의 양쪽에서 15y을(를) 뺍니다.

$$30x=-15y+675$$

양쪽을 30(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

\frac{1}{30}에 -15y+675을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

다른 수식 42x+20y=940에서 \frac{-y+45}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

42에 \frac{-y+45}{2}을(를) 곱합니다.

$$-21y+945+20y=940$$

-21y을(를) 20y에 추가합니다.

$$-y+945=940$$

수식의 양쪽에서 945을(를) 뺍니다.

$$-y=-5$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2}에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{45}{2}을(를) -\frac{5}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=20$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=20,y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=20,y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

30x 및 42x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 42을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 30을(를) 곱합니다.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

단순화합니다.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 1260x+630y=28350에서 1260x+600y=28200을(를) 뺍니다.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

1260x을(를) -1260x에 추가합니다. 1260x 및 -1260x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$630y-600y=28350-28200$$

630y을(를) -600y에 추가합니다.

$$30y=28350-28200$$

28350을(를) -28200에 추가합니다.

$$30y=150$$

양쪽을 30(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

42x+20y=940에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$42x+20\times 5=940$$

20에 5을(를) 곱합니다.

$$42x+100=940$$

수식의 양쪽에서 100을(를) 뺍니다.

$$42x=840$$

양쪽을 42(으)로 나눕니다.

$$x=20$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=20,y=5$$