다음을 풀어보세요: {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=3$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$3y-7x=-9$$

수식의 양쪽에 7x을(를) 더합니다.

$$3y=7x-9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

\frac{1}{3}에 7x-9을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

다른 수식 2y+5x=23에서 \frac{7x}{3}-3을(를) y(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

2에 \frac{7x}{3}-3을(를) 곱합니다.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

\frac{14x}{3}을(를) 5x에 추가합니다.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$\frac{29}{3}x=29$$

수식의 양쪽을 \frac{29}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=3$$

y=\frac{7}{3}x-3에서 x을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

\frac{7}{3}에 3을(를) 곱합니다.

$$y=7-3$$

-3을(를) 7에 추가합니다.

$$y=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=4,x=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=4,x=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

3y 및 2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

단순화합니다.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6y-14x=-18에서 6y+15x=69을(를) 뺍니다.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

6y을(를) -6y에 추가합니다. 6y 및 -6y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-14x-15x=-18-69$$

-14x을(를) -15x에 추가합니다.

$$-29x=-18-69$$

-18을(를) -69에 추가합니다.

$$-29x=-87$$

양쪽을 -29(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

2y+5x=23에서 x을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2y+5\times 3=23$$

5에 3을(를) 곱합니다.

$$2y+15=23$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$2y=8$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=4,x=3$$