다음을 풀어보세요: {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$3y-4x=8$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$3y-4x=8$$

수식의 양쪽에 4x을(를) 더합니다.

$$3y=4x+8$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

\frac{1}{3}에 8+4x을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

다른 수식 2y-8x=7에서 \frac{8+4x}{3}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

2에 \frac{8+4x}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

\frac{8x}{3}을(를) -8x에 추가합니다.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{16}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{16}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=-\frac{5}{16}$$

y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}에서 x을(를) -\frac{5}{16}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{4}{3}에 -\frac{5}{16}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{8}{3}을(를) -\frac{5}{12}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{9}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$3y-4x=8$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$3y-4x=8$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

3y 및 2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

단순화합니다.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6y-8x=16에서 6y-24x=21을(를) 뺍니다.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

6y을(를) -6y에 추가합니다. 6y 및 -6y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-8x+24x=16-21$$

-8x을(를) 24x에 추가합니다.

$$16x=16-21$$

16을(를) -21에 추가합니다.

$$16x=-5$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{5}{16}$$

2y-8x=7에서 x을(를) -\frac{5}{16}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

-8에 -\frac{5}{16}을(를) 곱합니다.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{2}을(를) 뺍니다.

$$2y=\frac{9}{2}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{9}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$