다음을 풀어보세요: {l}{3x-y=11}{5x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-y=11$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$3x=y+11$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+11\right)$$

\frac{1}{3}에 y+11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

다른 수식 5x+3y=9에서 \frac{11+y}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+3y=9$$

5에 \frac{11+y}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{5}{3}y+\frac{55}{3}+3y=9$$

\frac{5y}{3}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{14}{3}y+\frac{55}{3}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{55}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{14}{3}y=-\frac{28}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{14}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{11}{3}$$

\frac{1}{3}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2+11}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{11}{3}을(를) -\frac{2}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\times 3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\-\frac{5}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 11+\frac{1}{14}\times 9\\-\frac{5}{14}\times 11+\frac{3}{14}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

3x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 11,3\times 5x+3\times 3y=3\times 9$$

단순화합니다.

$$15x-5y=55,15x+9y=27$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15x-5y=55에서 15x+9y=27을(를) 뺍니다.

$$15x-15x-5y-9y=55-27$$

15x을(를) -15x에 추가합니다. 15x 및 -15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-5y-9y=55-27$$

-5y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-14y=55-27$$

55을(를) -27에 추가합니다.

$$-14y=28$$

양쪽을 -14(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

5x+3y=9에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+3\left(-2\right)=9$$

3에 -2을(를) 곱합니다.

$$5x-6=9$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$5x=15$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=-2$$