다음을 풀어보세요: {l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-8y=9$$

수식의 양쪽에 8y을(를) 더합니다.

$$3x=8y+9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{3}에 8y+9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

다른 수식 4x+3y=-10에서 \frac{8y}{3}+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

4에 \frac{8y}{3}+3을(를) 곱합니다.

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

\frac{32y}{3}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$\frac{41}{3}y=-22$$

수식의 양쪽을 \frac{41}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{66}{41}$$

x=\frac{8}{3}y+3에서 y을(를) -\frac{66}{41}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{8}{3}에 -\frac{66}{41}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

3을(를) -\frac{176}{41}에 추가합니다.

$$x=-\frac{53}{41}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

3x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

단순화합니다.

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x-32y=36에서 12x+9y=-30을(를) 뺍니다.

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-32y-9y=36+30$$

-32y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-41y=36+30$$

36을(를) 30에 추가합니다.

$$-41y=66$$

양쪽을 -41(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{66}{41}$$

4x+3y=-10에서 y을(를) -\frac{66}{41}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

3에 -\frac{66}{41}을(를) 곱합니다.

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

수식의 양쪽에 \frac{198}{41}을(를) 더합니다.

$$4x=-\frac{212}{41}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{53}{41}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$