다음을 풀어보세요: {l}{3x-8y=-13}{5y+2x=-19}

x, y에 대한 해

그래프

퀴즈

Simultaneous Equation

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https://math.stackexchange.com/q/916305

클립보드에 복사됨

3x-8y=-13,2x+5y=-19

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

3x-8y=-13

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

3x=8y-13

수식의 양쪽에 8y을(를) 더합니다.

x=\frac{1}{3}\left(8y-13\right)

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}

\frac{1}{3}에 8y-13을(를) 곱합니다.

2\left(\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}\right)+5y=-19

다른 수식 2x+5y=-19에서 \frac{8y-13}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

\frac{16}{3}y-\frac{26}{3}+5y=-19

2에 \frac{8y-13}{3}을(를) 곱합니다.

\frac{31}{3}y-\frac{26}{3}=-19

\frac{16y}{3}을(를) 5y에 추가합니다.

\frac{31}{3}y=-\frac{31}{3}

수식의 양쪽에 \frac{26}{3}을(를) 더합니다.

y=-1

수식의 양쪽을 \frac{31}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

x=\frac{8}{3}\left(-1\right)-\frac{13}{3}

x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

x=\frac{-8-13}{3}

\frac{8}{3}에 -1을(를) 곱합니다.

x=-7

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{13}{3}을(를) -\frac{8}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

x=-7,y=-1

시스템이 이제 해결되었습니다.

3x-8y=-13,2x+5y=-19

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)

\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{8}{31}\\-\frac{2}{31}&\frac{3}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)

산술 연산을 수행합니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\left(-13\right)+\frac{8}{31}\left(-19\right)\\-\frac{2}{31}\left(-13\right)+\frac{3}{31}\left(-19\right)\end{matrix}\right)

행렬을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)

산술 연산을 수행합니다.

x=-7,y=-1

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

3x-8y=-13,2x+5y=-19

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

2\times 3x+2\left(-8\right)y=2\left(-13\right),3\times 2x+3\times 5y=3\left(-19\right)

3x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

6x-16y=-26,6x+15y=-57

단순화합니다.

6x-6x-16y-15y=-26+57