다음을 풀어보세요: {l}{3x-7y=24}{6x+3y=99}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 24 } \\ { 6 x + 3 y = 99 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=15$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-7y=24$$

수식의 양쪽에 7y을(를) 더합니다.

$$3x=7y+24$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+24\right)$$

\frac{1}{3}에 7y+24을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7}{3}y+8$$

다른 수식 6x+3y=99에서 \frac{7y}{3}+8을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(\frac{7}{3}y+8\right)+3y=99$$

6에 \frac{7y}{3}+8을(를) 곱합니다.

$$14y+48+3y=99$$

14y을(를) 3y에 추가합니다.

$$17y+48=99$$

수식의 양쪽에서 48을(를) 뺍니다.

$$17y=51$$

양쪽을 17(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

x=\frac{7}{3}y+8에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{7}{3}\times 3+8$$

\frac{7}{3}에 3을(를) 곱합니다.

$$x=7+8$$

8을(를) 7에 추가합니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{7}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 24+\frac{7}{51}\times 99\\-\frac{2}{17}\times 24+\frac{1}{17}\times 99\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=15,y=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

3x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$6\times 3x+6\left(-7\right)y=6\times 24,3\times 6x+3\times 3y=3\times 99$$

단순화합니다.

$$18x-42y=144,18x+9y=297$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 18x-42y=144에서 18x+9y=297을(를) 뺍니다.

$$18x-18x-42y-9y=144-297$$

18x을(를) -18x에 추가합니다. 18x 및 -18x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-42y-9y=144-297$$

-42y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-51y=144-297$$

144을(를) -297에 추가합니다.

$$-51y=-153$$

양쪽을 -51(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

6x+3y=99에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x+3\times 3=99$$

3에 3을(를) 곱합니다.

$$6x+9=99$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$6x=90$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=3$$