다음을 풀어보세요: {l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-2y=5$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$3x=2y+5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{3}에 2y+5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

다른 수식 -3x+4y=-9에서 \frac{2y+5}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9$$

-3에 \frac{2y+5}{3}을(를) 곱합니다.

$$-2y-5+4y=-9$$

-2y을(를) 4y에 추가합니다.

$$2y-5=-9$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$2y=-4$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) -\frac{4}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{1}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

3x 및 -3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)$$

단순화합니다.

$$-9x+6y=-15,-9x+12y=-27$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -9x+6y=-15에서 -9x+12y=-27을(를) 뺍니다.

$$-9x+9x+6y-12y=-15+27$$

-9x을(를) 9x에 추가합니다. -9x 및 9x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6y-12y=-15+27$$

6y을(를) -12y에 추가합니다.

$$-6y=-15+27$$

-15을(를) 27에 추가합니다.

$$-6y=12$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

-3x+4y=-9에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3x+4\left(-2\right)=-9$$

4에 -2을(를) 곱합니다.

$$-3x-8=-9$$

수식의 양쪽에 8을(를) 더합니다.

$$-3x=-1$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$