다음을 풀어보세요: {l}{3x+y=6}{x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 6 } \\ { x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+y=6$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x=-y+6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+6\right)$$

\frac{1}{3}에 -y+6을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

다른 수식 x+3y=6에서 -\frac{y}{3}+2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{3}y+2+3y=6$$

-\frac{y}{3}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{8}{3}y+2=6$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$\frac{8}{3}y=4$$

수식의 양쪽을 \frac{8}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{3}{2}$$

x=-\frac{1}{3}y+2에서 y을(를) \frac{3}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}+2$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{3}에 \frac{3}{2}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

2을(를) -\frac{1}{2}에 추가합니다.

$$x=\frac{3}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 6-\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

3x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3x+y=6,3x+3\times 3y=3\times 6$$

단순화합니다.

$$3x+y=6,3x+9y=18$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+y=6에서 3x+9y=18을(를) 뺍니다.

$$3x-3x+y-9y=6-18$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-9y=6-18$$

y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-8y=6-18$$

6을(를) -18에 추가합니다.

$$-8y=-12$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{3}{2}$$

x+3y=6에서 y을(를) \frac{3}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+3\times \frac{3}{2}=6$$

3에 \frac{3}{2}을(를) 곱합니다.

$$x+\frac{9}{2}=6$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$