다음을 풀어보세요: {l}{3x+y=2}{5x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 5 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+y=2$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x=-y+2$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

\frac{1}{3}에 -y+2을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

다른 수식 5x-y=8에서 \frac{-y+2}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=8$$

5에 \frac{-y+2}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}-y=8$$

-\frac{5y}{3}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{10}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{8}{3}y=\frac{14}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{8}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{7}{4}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}에서 y을(를) -\frac{7}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{7}{4}\right)+\frac{2}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{3}에 -\frac{7}{4}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{2}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{3}을(를) \frac{7}{12}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{3}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

3x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$5\times 3x+5y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8$$

단순화합니다.

$$15x+5y=10,15x-3y=24$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15x+5y=10에서 15x-3y=24을(를) 뺍니다.

$$15x-15x+5y+3y=10-24$$

15x을(를) -15x에 추가합니다. 15x 및 -15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5y+3y=10-24$$

5y을(를) 3y에 추가합니다.

$$8y=10-24$$

10을(를) -24에 추가합니다.

$$8y=-14$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{7}{4}$$

5x-y=8에서 y을(를) -\frac{7}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x-\left(-\frac{7}{4}\right)=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{4}을(를) 뺍니다.

$$5x=\frac{25}{4}$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$