다음을 풀어보세요: {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-22$$

$$y=77$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+y=11$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x=-y+11$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

\frac{1}{3}에 -y+11을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

다른 수식 -4x-y=11에서 \frac{-y+11}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

-4에 \frac{-y+11}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

\frac{4y}{3}을(를) -y에 추가합니다.

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

수식의 양쪽에 \frac{44}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$y=77$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}에서 y을(를) 77(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

-\frac{1}{3}에 77을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{11}{3}을(를) -\frac{77}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-22$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-22,y=77$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-22,y=77$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

3x 및 -4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

단순화합니다.

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -12x-4y=-44에서 -12x-3y=33을(를) 뺍니다.

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

-12x을(를) 12x에 추가합니다. -12x 및 12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y+3y=-44-33$$

-4y을(를) 3y에 추가합니다.

$$-y=-44-33$$

-44을(를) -33에 추가합니다.

$$-y=-77$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=77$$

-4x-y=11에서 y을(를) 77(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-4x-77=11$$

수식의 양쪽에 77을(를) 더합니다.

$$-4x=88$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-22$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-22,y=77$$