다음을 풀어보세요: {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+6y=24$$

수식의 양쪽에서 6y을(를) 뺍니다.

$$3x=-6y+24$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

\frac{1}{3}에 -6y+24을(를) 곱합니다.

$$x=-2y+8$$

다른 수식 9x+5y=68에서 -2y+8을(를) x(으)로 치환합니다.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

9에 -2y+8을(를) 곱합니다.

$$-18y+72+5y=68$$

-18y을(를) 5y에 추가합니다.

$$-13y+72=68$$

수식의 양쪽에서 72을(를) 뺍니다.

$$-13y=-4$$

양쪽을 -13(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{4}{13}$$

x=-2y+8에서 y을(를) \frac{4}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

-2에 \frac{4}{13}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

8을(를) -\frac{8}{13}에 추가합니다.

$$x=\frac{96}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

3x 및 9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

단순화합니다.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 27x+54y=216에서 27x+15y=204을(를) 뺍니다.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

27x을(를) -27x에 추가합니다. 27x 및 -27x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$54y-15y=216-204$$

54y을(를) -15y에 추가합니다.

$$39y=216-204$$

216을(를) -204에 추가합니다.

$$39y=12$$

양쪽을 39(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{4}{13}$$

9x+5y=68에서 y을(를) \frac{4}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

5에 \frac{4}{13}을(를) 곱합니다.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

수식의 양쪽에서 \frac{20}{13}을(를) 뺍니다.

$$9x=\frac{864}{13}$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{96}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$