다음을 풀어보세요: {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+5y=4$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$3x=-5y+4$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

\frac{1}{3}에 -5y+4을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

다른 수식 -3x+4y=11에서 \frac{-5y+4}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

-3에 \frac{-5y+4}{3}을(를) 곱합니다.

$$5y-4+4y=11$$

5y을(를) 4y에 추가합니다.

$$9y-4=11$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$9y=15$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{5}{3}$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}에서 y을(를) \frac{5}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{3}에 \frac{5}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{4}{3}을(를) -\frac{25}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{13}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

3x 및 -3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

단순화합니다.

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -9x-15y=-12에서 -9x+12y=33을(를) 뺍니다.

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

-9x을(를) 9x에 추가합니다. -9x 및 9x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-15y-12y=-12-33$$

-15y을(를) -12y에 추가합니다.

$$-27y=-12-33$$

-12을(를) -33에 추가합니다.

$$-27y=-45$$

양쪽을 -27(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{5}{3}$$

-3x+4y=11에서 y을(를) \frac{5}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

4에 \frac{5}{3}을(를) 곱합니다.

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

수식의 양쪽에서 \frac{20}{3}을(를) 뺍니다.

$$-3x=\frac{13}{3}$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{13}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$