다음을 풀어보세요: {l}{3x+5y=0}{9x+7y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 0 } \\ { 9 x + 7 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=5$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+5y=0,9x+7y=24$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+5y=0$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$3x=-5y$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)y$$

\frac{1}{3}에 -5y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{3}y$$

다른 수식 9x+7y=24에서 -\frac{5y}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$9\left(-\frac{5}{3}\right)y+7y=24$$

9에 -\frac{5y}{3}을(를) 곱합니다.

$$-15y+7y=24$$

-15y을(를) 7y에 추가합니다.

$$-8y=24$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

x=-\frac{5}{3}y에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)$$

-\frac{5}{3}에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=-3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+5y=0,9x+7y=24$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\9&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-5\times 9}&-\frac{5}{3\times 7-5\times 9}\\-\frac{9}{3\times 7-5\times 9}&\frac{3}{3\times 7-5\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 24\\-\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=5,y=-3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+5y=0,9x+7y=24$$

3x 및 9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$9\times 3x+9\times 5y=0,3\times 9x+3\times 7y=3\times 24$$

단순화합니다.

$$27x+45y=0,27x+21y=72$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 27x+45y=0에서 27x+21y=72을(를) 뺍니다.

$$27x-27x+45y-21y=-72$$

27x을(를) -27x에 추가합니다. 27x 및 -27x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$45y-21y=-72$$

45y을(를) -21y에 추가합니다.

$$24y=-72$$

양쪽을 24(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

9x+7y=24에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$9x+7\left(-3\right)=24$$

7에 -3을(를) 곱합니다.

$$9x-21=24$$

수식의 양쪽에 21을(를) 더합니다.

$$9x=45$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=-3$$