다음을 풀어보세요: {l}{3x+2y=4}{6x-2y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 6 x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+2y=4$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3x=-2y+4$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

\frac{1}{3}에 -2y+4을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

다른 수식 6x-2y=-1에서 \frac{-2y+4}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=-1$$

6에 \frac{-2y+4}{3}을(를) 곱합니다.

$$-4y+8-2y=-1$$

-4y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-6y+8=-1$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$-6y=-9$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{3}{2}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}에서 y을(를) \frac{3}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{4}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{3}에 \frac{3}{2}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-1+\frac{4}{3}$$

\frac{4}{3}을(를) -1에 추가합니다.

$$x=\frac{1}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 6}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-2\right)-2\times 6}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

3x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$18x+12y=24,18x-6y=-3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 18x+12y=24에서 18x-6y=-3을(를) 뺍니다.

$$18x-18x+12y+6y=24+3$$

18x을(를) -18x에 추가합니다. 18x 및 -18x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y+6y=24+3$$

12y을(를) 6y에 추가합니다.

$$18y=24+3$$

24을(를) 3에 추가합니다.

$$18y=27$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{3}{2}$$

6x-2y=-1에서 y을(를) \frac{3}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-2\times \frac{3}{2}=-1$$

-2에 \frac{3}{2}을(를) 곱합니다.

$$6x-3=-1$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$6x=2$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$