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m, n에 대한 해

퀴즈

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3m-2n=-2,5m+8n=-60

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

3m-2n=-2

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

3m=2n-2

수식의 양쪽에 2n을(를) 더합니다.

m=\frac{1}{3}\left(2n-2\right)

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

m=\frac{2}{3}n-\frac{2}{3}

\frac{1}{3}에 -2+2n을(를) 곱합니다.

5\left(\frac{2}{3}n-\frac{2}{3}\right)+8n=-60

다른 수식 5m+8n=-60에서 \frac{-2+2n}{3}을(를) m(으)로 치환합니다.

\frac{10}{3}n-\frac{10}{3}+8n=-60

5에 \frac{-2+2n}{3}을(를) 곱합니다.

\frac{34}{3}n-\frac{10}{3}=-60

\frac{10n}{3}을(를) 8n에 추가합니다.

\frac{34}{3}n=-\frac{170}{3}

수식의 양쪽에 \frac{10}{3}을(를) 더합니다.

n=-5

수식의 양쪽을 \frac{34}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

m=\frac{2}{3}\left(-5\right)-\frac{2}{3}

m=\frac{2}{3}n-\frac{2}{3}에서 n을(를) -5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

m=\frac{-10-2}{3}

\frac{2}{3}에 -5을(를) 곱합니다.

m=-4

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{2}{3}을(를) -\frac{10}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

m=-4,n=-5

시스템이 이제 해결되었습니다.

3m-2n=-2,5m+8n=-60

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-60\end{matrix}\right)

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-60\end{matrix}\right)

\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-60\end{matrix}\right)

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-60\end{matrix}\right)

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-60\end{matrix}\right)

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{5}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-60\end{matrix}\right)

산술 연산을 수행합니다.

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\left(-60\right)\\-\frac{5}{34}\left(-2\right)+\frac{3}{34}\left(-60\right)\end{matrix}\right)

행렬을 곱합니다.

\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-5\end{matrix}\right)

산술 연산을 수행합니다.

m=-4,n=-5

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

3m-2n=-2,5m+8n=-60

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

5\times 3m+5\left(-2\right)n=5\left(-2\right),3\times 5m+3\times 8n=3\left(-60\right)

3m 및 5m을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

15m-10n=-10,15m+24n=-180

단순화합니다.

15m-15m-10n-24n=-10+180