다음을 풀어보세요: {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$3a+14b=4$$

수식의 양쪽에서 14b을(를) 뺍니다.

$$3a=-14b+4$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

\frac{1}{3}에 -14b+4을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

다른 수식 13a+19b=13에서 \frac{-14b+4}{3}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

13에 \frac{-14b+4}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

-\frac{182b}{3}을(를) 19b에 추가합니다.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

수식의 양쪽에서 \frac{52}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{125}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=\frac{13}{125}$$

a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}에서 b을(를) \frac{13}{125}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{14}{3}에 \frac{13}{125}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{4}{3}을(를) -\frac{182}{375}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=\frac{106}{125}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

3a 및 13a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 13을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

단순화합니다.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 39a+182b=52에서 39a+57b=39을(를) 뺍니다.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

39a을(를) -39a에 추가합니다. 39a 및 -39a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$182b-57b=52-39$$

182b을(를) -57b에 추가합니다.

$$125b=52-39$$

52을(를) -39에 추가합니다.

$$125b=13$$

양쪽을 125(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{13}{125}$$

13a+19b=13에서 b을(를) \frac{13}{125}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

19에 \frac{13}{125}을(를) 곱합니다.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

수식의 양쪽에서 \frac{247}{125}을(를) 뺍니다.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{106}{125}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$