다음을 풀어보세요: {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 x+y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

분배 법칙을 사용하여 2에 x-y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

3x과(와) -2x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+3y+9=-2y$$

양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$x+3y+9+2y=0$$

3y과(와) 2y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$x+5y+9=0$$

양쪽 모두에서 9을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$x+5y=-9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

분배 법칙을 사용하여 3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+2y=-3y-4$$

양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-x+2y+3y=-4$$

2y과(와) 3y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$-x+5y=-4$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+5y=-9$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$x=-5y-9$$

다른 수식 -x+5y=-4에서 -5y-9을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

-1에 -5y-9을(를) 곱합니다.

$$5y+9+5y=-4$$

5y을(를) 5y에 추가합니다.

$$10y+9=-4$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$10y=-13$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{13}{10}$$

x=-5y-9에서 y을(를) -\frac{13}{10}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

-5에 -\frac{13}{10}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

-9을(를) \frac{13}{2}에 추가합니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 x+y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

분배 법칙을 사용하여 2에 x-y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

3x과(와) -2x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+3y+9=-2y$$

양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$x+3y+9+2y=0$$

3y과(와) 2y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$x+5y+9=0$$

양쪽 모두에서 9을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$x+5y=-9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

분배 법칙을 사용하여 3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+2y=-3y-4$$

양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-x+2y+3y=-4$$

2y과(와) 3y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$-x+5y=-4$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 x+y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

분배 법칙을 사용하여 2에 x-y(을)를 곱합니다.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

양쪽 모두에서 2x을(를) 뺍니다.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

3x과(와) -2x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+3y+9=-2y$$

양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$x+3y+9+2y=0$$

3y과(와) 2y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$x+5y+9=0$$

양쪽 모두에서 9을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$x+5y=-9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

분배 법칙을 사용하여 3에 x-y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

양쪽 모두에서 3x을(를) 뺍니다.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

2x과(와) -3x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+2y=-3y-4$$

양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-x+2y+3y=-4$$

2y과(와) 3y을(를) 결합하여 5y(을)를 구합니다.

$$-x+5y=-4$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x+5y=-9에서 -x+5y=-4을(를) 뺍니다.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

5y을(를) -5y에 추가합니다. 5y 및 -5y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$x+x=-9+4$$

x을(를) x에 추가합니다.

$$2x=-9+4$$

-9을(를) 4에 추가합니다.

$$2x=-5$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{5}{2}$$

-x+5y=-4에서 x을(를) -\frac{5}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

-1에 -\frac{5}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{2}을(를) 뺍니다.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{13}{10}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$