다음을 풀어보세요: {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

3에 2x+1을(를) 곱합니다.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

-5에 y-3을(를) 곱합니다.

$$6x+3-5y+15=1$$

3을(를) 15에 추가합니다.

$$6x-5y+18=1$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$6x-5y=-17$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$6x=5y-17$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

\frac{1}{6}에 5y-17을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

다른 수식 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3에서 \frac{5y-17}{6}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

-1에 \frac{5y-17}{6}을(를) 곱합니다.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

\frac{17}{6}을(를) 1에 추가합니다.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

5에 \frac{-5y+23}{6}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

-4에 2y+1을(를) 곱합니다.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

-\frac{25y}{6}을(를) -8y에 추가합니다.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

\frac{115}{6}을(를) -4에 추가합니다.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

수식의 양쪽에서 \frac{91}{6}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

수식의 양쪽을 -\frac{73}{6}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=1$$

x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5-17}{6}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{17}{6}을(를) \frac{5}{6}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

첫 번째 수식을 단순화하여 표준 형식으로 만듭니다.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

3에 2x+1을(를) 곱합니다.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

-5에 y-3을(를) 곱합니다.

$$6x+3-5y+15=1$$

3을(를) 15에 추가합니다.

$$6x-5y+18=1$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$6x-5y=-17$$

두 번째 수식을 단순화하여 표준 형식으로 만듭니다.

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

5에 -x+1을(를) 곱합니다.

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

-4에 2y+1을(를) 곱합니다.

$$-5x+5-8y-4=3$$

5을(를) -4에 추가합니다.

$$-5x-8y+1=3$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$-5x-8y=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2,y=1$$