다음을 풀어보세요: {l}{25x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$25x+110y=6100$$

수식의 양쪽에서 110y을(를) 뺍니다.

$$25x=-110y+6100$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{25}에 -110y+6100을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

다른 수식 x+y=50에서 -\frac{22y}{5}+244을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

-\frac{22y}{5}을(를) y에 추가합니다.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

수식의 양쪽에서 244을(를) 뺍니다.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

수식의 양쪽을 -\frac{17}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{970}{17}$$

x=-\frac{22}{5}y+244에서 y을(를) \frac{970}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{22}{5}에 \frac{970}{17}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

244을(를) -\frac{4268}{17}에 추가합니다.

$$x=-\frac{120}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

25x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 25을(를) 곱합니다.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

단순화합니다.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 25x+110y=6100에서 25x+25y=1250을(를) 뺍니다.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

25x을(를) -25x에 추가합니다. 25x 및 -25x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$110y-25y=6100-1250$$

110y을(를) -25y에 추가합니다.

$$85y=6100-1250$$

6100을(를) -1250에 추가합니다.

$$85y=4850$$

양쪽을 85(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{970}{17}$$

x+y=50에서 y을(를) \frac{970}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

수식의 양쪽에서 \frac{970}{17}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{120}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$