다음을 풀어보세요: {l}{25+5p+q=0}{9-3p+q=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 + 5 p + q = 0 } \\ { 9 - 3 p + q = 0 } \end{array} \right.$$

p, q에 대한 해

$$p=-2$$

$$q=-15$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5p+q+25=0,-3p+q+9=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 p을(를) 고립시켜 p에 대한 해를 찾습니다.

$$5p+q+25=0$$

수식의 양쪽에서 25을(를) 뺍니다.

$$5p+q=-25$$

수식의 양쪽에서 q을(를) 뺍니다.

$$5p=-q-25$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$p=\frac{1}{5}\left(-q-25\right)$$

\frac{1}{5}에 -q-25을(를) 곱합니다.

$$p=-\frac{1}{5}q-5$$

다른 수식 -3p+q+9=0에서 -\frac{q}{5}-5을(를) p(으)로 치환합니다.

$$-3\left(-\frac{1}{5}q-5\right)+q+9=0$$

-3에 -\frac{q}{5}-5을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{5}q+15+q+9=0$$

\frac{3q}{5}을(를) q에 추가합니다.

$$\frac{8}{5}q+15+9=0$$

15을(를) 9에 추가합니다.

$$\frac{8}{5}q+24=0$$

수식의 양쪽에서 24을(를) 뺍니다.

$$\frac{8}{5}q=-24$$

수식의 양쪽을 \frac{8}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$q=-15$$

p=-\frac{1}{5}q-5에서 q을(를) -15(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 p에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$p=-\frac{1}{5}\left(-15\right)-5$$

-\frac{1}{5}에 -15을(를) 곱합니다.

$$p=3-5$$

-5을(를) 3에 추가합니다.

$$p=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$p=-2,q=-15$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5p+q+25=0,-3p+q+9=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-3\right)}&-\frac{1}{5-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-3\right)}&\frac{5}{5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-25\right)-\frac{1}{8}\left(-9\right)\\\frac{3}{8}\left(-25\right)+\frac{5}{8}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 p 및 q을(를) 추출합니다.

$$p=-2,q=-15$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5p+q+25=0,-3p+q+9=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 5p+q+25=0에서 -3p+q+9=0을(를) 뺍니다.

$$5p+3p+q-q+25-9=0$$

q을(를) -q에 추가합니다. q 및 -q이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5p+3p+25-9=0$$

5p을(를) 3p에 추가합니다.

$$8p+25-9=0$$

25을(를) -9에 추가합니다.

$$8p+16=0$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$8p=-16$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$p=-2$$

-3p+q+9=0에서 p을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 q에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3\left(-2\right)+q+9=0$$

-3에 -2을(를) 곱합니다.

$$6+q+9=0$$

6을(를) 9에 추가합니다.

$$q+15=0$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$q=-15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$p=-2,q=-15$$