다음을 풀어보세요: {l}{20(x-y)=600-500}{40(2y-x)=600-400}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 ( x - y ) = 600 - 500 } \\ { 40 ( 2 y - x ) = 600 - 400 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=15$$

$$y=10$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 20에 x-y(을)를 곱합니다.

$$20x-20y=600-500$$

600에서 500을(를) 빼고 100을(를) 구합니다.

$$20x-20y=100$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 40에 2y-x(을)를 곱합니다.

$$80y-40x=600-400$$

600에서 400을(를) 빼고 200을(를) 구합니다.

$$80y-40x=200$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$20x-20y=100,-40x+80y=200$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$20x-20y=100$$

수식의 양쪽에 20y을(를) 더합니다.

$$20x=20y+100$$

양쪽을 20(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{20}\left(20y+100\right)$$

\frac{1}{20}에 100+20y을(를) 곱합니다.

$$x=y+5$$

다른 수식 -40x+80y=200에서 y+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-40\left(y+5\right)+80y=200$$

-40에 y+5을(를) 곱합니다.

$$-40y-200+80y=200$$

-40y을(를) 80y에 추가합니다.

$$40y-200=200$$

수식의 양쪽에 200을(를) 더합니다.

$$40y=400$$

양쪽을 40(으)로 나눕니다.

$$y=10$$

x=y+5에서 y을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=10+5$$

5을(를) 10에 추가합니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=10$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 20에 x-y(을)를 곱합니다.

$$20x-20y=600-500$$

600에서 500을(를) 빼고 100을(를) 구합니다.

$$20x-20y=100$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 40에 2y-x(을)를 곱합니다.

$$80y-40x=600-400$$

600에서 400을(를) 빼고 200을(를) 구합니다.

$$80y-40x=200$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$20x-20y=100,-40x+80y=200$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-20\\-40&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{20\times 80-\left(-20\left(-40\right)\right)}&-\frac{-20}{20\times 80-\left(-20\left(-40\right)\right)}\\-\frac{-40}{20\times 80-\left(-20\left(-40\right)\right)}&\frac{20}{20\times 80-\left(-20\left(-40\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\200\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 100+\frac{1}{40}\times 200\\\frac{1}{20}\times 100+\frac{1}{40}\times 200\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=15,y=10$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 20에 x-y(을)를 곱합니다.

$$20x-20y=600-500$$

600에서 500을(를) 빼고 100을(를) 구합니다.

$$20x-20y=100$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 40에 2y-x(을)를 곱합니다.

$$80y-40x=600-400$$

600에서 400을(를) 빼고 200을(를) 구합니다.

$$80y-40x=200$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$20x-20y=100,-40x+80y=200$$

20x 및 -40x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -40을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 20을(를) 곱합니다.

$$-40\times 20x-40\left(-20\right)y=-40\times 100,20\left(-40\right)x+20\times 80y=20\times 200$$

단순화합니다.

$$-800x+800y=-4000,-800x+1600y=4000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -800x+800y=-4000에서 -800x+1600y=4000을(를) 뺍니다.

$$-800x+800x+800y-1600y=-4000-4000$$

-800x을(를) 800x에 추가합니다. -800x 및 800x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$800y-1600y=-4000-4000$$

800y을(를) -1600y에 추가합니다.

$$-800y=-4000-4000$$

-4000을(를) -4000에 추가합니다.

$$-800y=-8000$$

양쪽을 -800(으)로 나눕니다.

$$y=10$$

-40x+80y=200에서 y을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-40x+80\times 10=200$$

80에 10을(를) 곱합니다.

$$-40x+800=200$$

수식의 양쪽에서 800을(를) 뺍니다.

$$-40x=-600$$

양쪽을 -40(으)로 나눕니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=10$$