다음을 풀어보세요: {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=9$$

$$y=13$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-x+3y=30$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-y=5$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$2x=y+5$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{2}에 y+5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

다른 수식 -x+3y=30에서 \frac{5+y}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

-1에 \frac{5+y}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

-\frac{y}{2}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{2}을(를) 더합니다.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=13$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}에서 y을(를) 13(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

\frac{1}{2}에 13을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{2}을(를) \frac{13}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=13$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-x+3y=30$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=9,y=13$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-x+3y=30$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

2x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

단순화합니다.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x+y=-5에서 -2x+6y=60을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-6y=-5-60$$

y을(를) -6y에 추가합니다.

$$-5y=-5-60$$

-5을(를) -60에 추가합니다.

$$-5y=-65$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$y=13$$

-x+3y=30에서 y을(를) 13(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+3\times 13=30$$

3에 13을(를) 곱합니다.

$$-x+39=30$$

수식의 양쪽에서 39을(를) 뺍니다.

$$-x=-9$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=13$$