다음을 풀어보세요: {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$2x-y-4x=-3$$

2x과(와) -4x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x-y=-3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-2x-y=-3$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$-2x=y-3$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

-\frac{1}{2}에 y-3을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

다른 수식 x+y=\frac{1}{2}에서 \frac{-y+3}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

-\frac{y}{2}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

양쪽에 2을(를) 곱합니다.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

\frac{3}{2}을(를) 1에 추가합니다.

$$x=\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$2x-y-4x=-3$$

2x과(와) -4x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x-y=-3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.

$$2x-y-4x=-3$$

2x과(와) -4x을(를) 결합하여 -2x(을)를 구합니다.

$$-2x-y=-3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

-2x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱합니다.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

단순화합니다.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x-y=-3에서 -2x-2y=-1을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-y+2y=-3+1$$

-y을(를) 2y에 추가합니다.

$$y=-3+1$$

-3을(를) 1에 추가합니다.

$$y=-2$$

x+y=\frac{1}{2}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$x=\frac{5}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$