다음을 풀어보세요: {l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-3y=-5$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$2x=3y-5$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

\frac{1}{2}에 3y-5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

다른 수식 4x+9y=-7에서 \frac{3y-5}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

4에 \frac{3y-5}{2}을(를) 곱합니다.

$$6y-10+9y=-7$$

6y을(를) 9y에 추가합니다.

$$15y-10=-7$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$15y=3$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{5}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}에서 y을(를) \frac{1}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{3}{2}에 \frac{1}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{2}을(를) \frac{3}{10}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{11}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

2x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

단순화합니다.

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x-12y=-20에서 8x+18y=-14을(를) 뺍니다.

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-12y-18y=-20+14$$

-12y을(를) -18y에 추가합니다.

$$-30y=-20+14$$

-20을(를) 14에 추가합니다.

$$-30y=-6$$

양쪽을 -30(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{5}$$

4x+9y=-7에서 y을(를) \frac{1}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

9에 \frac{1}{5}을(를) 곱합니다.

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{5}을(를) 뺍니다.

$$4x=-\frac{44}{5}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{11}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$