다음을 풀어보세요: {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=6$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 y+2(을)를 곱합니다.

$$2x-15=3y+6$$

양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$2x-15-3y=6$$

양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$2x-3y=6+15$$

6과(와) 15을(를) 더하여 21을(를) 구합니다.

$$2x-3y=21$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 7에 x-4(을)를 곱합니다.

$$7x-28=-1-5y$$

양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$7x-28+5y=-1$$

양쪽에 28을(를) 더합니다.

$$7x+5y=-1+28$$

-1과(와) 28을(를) 더하여 27을(를) 구합니다.

$$7x+5y=27$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x-3y=21$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$2x=3y+21$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

\frac{1}{2}에 21+3y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

다른 수식 7x+5y=27에서 \frac{21+3y}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

7에 \frac{21+3y}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

\frac{21y}{2}을(를) 5y에 추가합니다.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

수식의 양쪽에서 \frac{147}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{31}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-3$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

\frac{3}{2}에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{21}{2}을(를) -\frac{9}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=6,y=-3$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 y+2(을)를 곱합니다.

$$2x-15=3y+6$$

양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$2x-15-3y=6$$

양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$2x-3y=6+15$$

6과(와) 15을(를) 더하여 21을(를) 구합니다.

$$2x-3y=21$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 7에 x-4(을)를 곱합니다.

$$7x-28=-1-5y$$

양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$7x-28+5y=-1$$

양쪽에 28을(를) 더합니다.

$$7x+5y=-1+28$$

-1과(와) 28을(를) 더하여 27을(를) 구합니다.

$$7x+5y=27$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=6,y=-3$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 3에 y+2(을)를 곱합니다.

$$2x-15=3y+6$$

양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.

$$2x-15-3y=6$$

양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$2x-3y=6+15$$

6과(와) 15을(를) 더하여 21을(를) 구합니다.

$$2x-3y=21$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 7에 x-4(을)를 곱합니다.

$$7x-28=-1-5y$$

양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$7x-28+5y=-1$$

양쪽에 28을(를) 더합니다.

$$7x+5y=-1+28$$

-1과(와) 28을(를) 더하여 27을(를) 구합니다.

$$7x+5y=27$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

2x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

단순화합니다.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 14x-21y=147에서 14x+10y=54을(를) 뺍니다.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

14x을(를) -14x에 추가합니다. 14x 및 -14x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-21y-10y=147-54$$

-21y을(를) -10y에 추가합니다.

$$-31y=147-54$$

147을(를) -54에 추가합니다.

$$-31y=93$$

양쪽을 -31(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

7x+5y=27에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

5에 -3을(를) 곱합니다.

$$7x-15=27$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$7x=42$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=6,y=-3$$